Разбиение чисел Бетти—Новикова и гомологий Новикова, индуцированных $S^{1}$-значным отображением

Паре $ (X,f) $, где $ X $ — компактный абсолютный окрестностный ретракт и $f\colon X\to \mathbb S^1$ — непрерывное отображение, полю $\kappa$ и неотрицательному целому числу $r$ мы поставим в соответствие конечный набор комплексных чисел $ z $ с кратностями $\delta^f_r(z)$, а также соответствующее конечное семейство свободных $\kappa[t^{-1}, t]$-модулей рангов $\delta^ f_r(z)$. Предлагаемое соответствие схоже с соответствием, связывающим оператор в конечномерном комплексном векторном пространстве с множеством его собственных значений и системой обобщённых собственных подпространств. Числа $\delta^f_r$ для фиксированного $ r $ образуют разбиение $ r $-го числа Бетти–Новикова, а система $\hat \delta^f_r$ задаёт разложение гомологий Новикова в градуировке $r$, ассоциированных с когомологическим классом, определённым отображением $f$. В случае поля $\kappa= \mathbb C$ система $\hat \delta^f_r$ задаётся пополнением по фон Нейману системы $\hat{\hat \delta}^f_r$ попарно ортогональных замкнутых гильбертовых подмодулей в $L_2$-гомологиях бесконечнолистного циклического накрытия $X$, заданного отображением $f$, которые представляют собой гильбертов $L^\infty(\mathbb S^1)$-модуль.