RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Фундаментальная и прикладная математика // Архив

Фундамент. и прикл. матем., 2018, том 22, выпуск 1, страницы 13–29 (Mi fpm1779)

Эта публикация цитируется в 3 статьях

Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве

М. В. Балашов

Московский физико-технический институт

Аннотация: В настоящем обзоре мы рассматриваем оператор метрического проектирования из вещественного гильбертова пространства на замкнутое подмножество. Мы обсуждаем вопрос: когда этот оператор непрерывен по Липшицу? Во-первых, мы рассматриваем класс сильно выпуклых множеств с радиусом $R$, т. е. каждое множество из этого класса есть непустое пересечение замкнутых шаров радиуса $R$. Мы доказываем, что сужение оператора метрического проектирования на дополнение к окрестности радиуса $r$ сильно выпуклого множества с радиусом $R$ непрерывно по Липшицу с константой Липшица $C=R/(r+R)\in (0,1)$. Наоборот, если для замкнутого выпуклого множества из вещественного гильбертова пространства оператор метрического проектирования непрерывен по Липшицу с константой Липшица $C\in (0,1)$ на дополнении к окрестности радиуса $r$ этого множества, то множество сильно выпукло с радиусом $R=Cr/(1-C)$.
Известно, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию в некоторой окрестности, то это множество проксимально гладкое. Мы показываем, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию на окрестности радиуса $r$ с константой Липшица $C>1$, то это множество проксимально гладкое с константой проксимальной гладкости $R=Cr/(C-1)$, также если константа $C$ наименьшая возможная, то константа $R$ наибольшая возможная.
Мы применяем полученные результаты к вопросу о сходимости метода проекции градиента.

Ключевые слова: гильбертово пространство, функция расстояния, метрическая проекция, сильно выпуклое множество с радиусом $R$, опорный принцип, опорное условие, проксимальная гладкое (прокс-регулярное) множество, метод проекции градиента.

УДК: 517.982.22+517.982.252+517.982.256


 Англоязычная версия: Journal of Mathematical Sciences (New York), 2020, 250:3, 391–403


© МИАН, 2024