Эта публикация цитируется в
3 статьях
Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве
М. В. Балашов Московский физико-технический институт
Аннотация:
В настоящем обзоре мы рассматриваем оператор метрического проектирования из вещественного гильбертова пространства на замкнутое подмножество. Мы обсуждаем вопрос: когда этот оператор непрерывен по Липшицу? Во-первых, мы рассматриваем класс сильно выпуклых множеств с радиусом
$R$, т. е. каждое множество из этого класса есть непустое пересечение замкнутых шаров радиуса
$R$. Мы доказываем, что сужение оператора метрического проектирования на дополнение к окрестности радиуса
$r$ сильно выпуклого множества с радиусом
$R$ непрерывно по Липшицу с константой Липшица
$C=R/(r+R)\in (0,1)$. Наоборот, если для замкнутого выпуклого множества из вещественного гильбертова пространства оператор метрического проектирования непрерывен по Липшицу с константой Липшица
$C\in (0,1)$ на дополнении к окрестности радиуса
$r$ этого множества, то множество сильно выпукло с радиусом
$R=Cr/(1-C)$.
Известно, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию в некоторой окрестности, то это множество проксимально гладкое. Мы показываем, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию на окрестности радиуса
$r$ с константой Липшица
$C>1$, то это множество проксимально гладкое с константой проксимальной гладкости
$R=Cr/(C-1)$, также если константа
$C$ наименьшая возможная, то константа
$R$ наибольшая возможная.
Мы применяем полученные результаты к вопросу о сходимости метода проекции градиента.
Ключевые слова:
гильбертово пространство, функция расстояния, метрическая проекция, сильно выпуклое множество с радиусом $R$, опорный принцип, опорное условие, проксимальная гладкое (прокс-регулярное) множество, метод проекции градиента.
УДК:
517.982.22+
517.982.252+
517.982.256