Предельные теоремы для моментов остановки случайных блужданий в полосе

Цель работы — изучение влияния управления на асимптотическое поведение и устойчивость систем, описываемых случайными блужданиями с двумя поглощающими границами. Для этого сначала рассматривается однородное (неуправляемое) случайное блуждание со скачками, принимающими три значения. Объектом исследования является момент остановки $\eta_{x,n}$, где $x$ — начальное состояние, а $n$ — верхняя граница, нижняя граница равна нулю. Затем показано, что использование двухуровневого управления радикально меняет характер асимптотического поведения $\eta_{x,n}$, обеспечивая тем самым устойчивость модели. Например, предельное распределение нормированной случайной величины $\tau_{x,n}=\eta_{x,n}(\mathsf E\eta_{x,n})^{-1}$ оказывается показательным с параметром 1 независимо от среднего размера скачков в области между контрольными уровнями $n_1$ и $n_2$, если $x\to\infty$ при $n\to\infty$ таким образом, чтобы $n-x\to\infty$. Между тем, для неуправляемых систем $\tau_{x,n}$ сходится по вероятности к 1 при $n\to\infty$, если средняя величина скачка ненулевая, а в случае нулевого среднего предельное распределение $\tau_{x,n}$ имеет плотность $f_c(\cdot)$, если $xn^{-1}\to c$, $0<c<1$, при $n\to\infty$. Основную роль в исследованиях играют преобразования Лапласа. Это дает возможность изучить предельное поведение $\eta_{x,n}$ также и для начальных состояний, лежащих в “защитных зонах” вблизи поглощающих границ.