Влияние теоремы Бэра—Капланского на развитие теории групп, колец и модулей

В обзорной статье представлен анализ результатов теории абелевых групп, а также колец и модулей, которые касаются определяемости алгебраических структур их кольцами эндоморфизмов и другими производными структурами. В систематизации результатов наибольшее внимание уделяется абелевым группам без кручения, представляющим особый интерес в связи с наличием в этом классе неизоморфных прямых разложений. Это значительно расширяет представления об общих, в том числе современных, тенденциях развития алгебры в русле проблематики, связанной с теоремой Бэра–Капланского.
Отражение свойств алгебраических объектов некоторого класса в их кольцах эндоморфизмов является естественной структурной связью, изучение которой представляет собой отдельное направление исследований. Ярким вступлением в эту тему явилась теорема Бэра–Капланского для периодических абелевых групп, относящаяся к середине прошлого века и утверждающая, что всякий изоморфизм колец эндоморфизмов двух групп из этого класса неминуемо индуцируется некоторым изоморфизмом самих групп. Разумеется, отсюда следует, что если две периодические абелевы группы имеют изоморфные кольца эндоморфизмов, то и сами они изоморфны. Этот лаконичный результат вдохновил математиков на получение результатов в той же форме, касающихся других классов объектов. Естественным является переход от абелевых групп, которые можно рассматривать как модули над кольцом целых чисел, к теории колец и модулей. Но и в самой теории абелевых групп были обнаружены другие классы, для которых справедлив аналог теоремы Бэра–Капланского. Несмотря на принципиальное различие определений вполне разложимых абелевых групп  — прямых сумм групп без кручения ранга $1$  — и периодических абелевых групп, представляющих собой прямые суммы циклических групп, имеется одна очень важная общая характеристика этих классов: эти разложения на не разложимые далее слагаемые определяются однозначно с точностью до изоморфизма. Данным свойством не обладают абелевы группы без кручения в целом, проблема определяемости которых их кольцами эндоморфизмов находится в фокусе нашего внимания.