Детерминированная раскраска семейства комплексов

В знаменитых работах Ш. Мозеса «Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them»и Х. Гудмана-Штраусса «Matching rules and substitution tilings»исследуются важные свойства замощений на плоскости, связывающие язык подстановочных систем и локальных правил. В частности, доказывается, что практически с любой подстановочной системой плиток можно связать систему декораций и локальных правил на границы плиток так, что любое разрешённое правилами замощение плоскости будет принадлежать семейству, порождённому данной подстановочной системой.
Геометрические построения на основе замощений и геометрических комплексов из склеенных квадратов открывают новые возможности для исследования и конструирования алгебраических объектов. Важным свойством замощений, позволяющим связывать их с алгебраическими объектами, является детерминированность. Для квадратных плиток, стороны которых покрашены в конечное число цветов, это свойство означает, что цвета двух соседних сторон каждой плитки однозначно определяют цвета другой пары сторон. Дж. Кари и П. Папасоглу построили детерминированный апериодический набор. Таким образом, аналог теорем Гудмана-Штраусса и Мозеса с дополнительным условием детерминированности является важным утверждением в теории апериодических мозаик. Мы доказываем аналог этого утверждения для конкретной фиксированной подстановочной системы. Но её произвольность позволяет надеяться на возможность обобщения построения на общий случай.
Данная система важна при построении бесконечной конечно определённой нильполугруппы, решающей проблему Л. Н. Шеврина и М. В. Сапира. Работа посвящена также построению семейства геометрических комплексов и введению на них кодировки вершин и рёбер. Для полученного комплекса выполнены одновременно оба свойства: конечность набора задающих локальных правил и детерминированность на путях длины $2$ на минимальных квадратах.
Данная работа является второй из трёх, составляющих цикл, посвящённый построению бесконечной конечно определённой нильполугруппы. Результаты первой работы цикла приведены в начале для удобства.