Построение накрытий простых групп с помощью евклидовых решёток
А. К. Мартиросов Московский физико-технический институт
Аннотация:
Целью данной работы является построение некоторых исключительных (не вкладывающихся в бесконечные семейства) накрытий конечных простых групп. Основным инструментом при этом служат дискретные решётки в действительных и комплексных евклидовых пространствах.
Пусть
$G$ — произвольная группа. Её накрытием называется любая группа
$\tilde G$, в которой существует подгруппа
$Z\leq Z(\tilde G)\cap\tilde G'$, удовлетворяющая условию
$\tilde G/Z\cong G$.
Известно, что для любой конечной группы
$G$ любое её накрытие также конечно, причём существует некоторое накрытие
$\tilde G$ наибольшего порядка. Соответствующая подгруппа
$Z\leq\tilde G$ определена однозначно с точностью до изоморфизма и называется мультипликатором Шура группы
$G$. Если
$G'=G$ (в частности, если
$G$ простая неабелева), то и
$\tilde G$ определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Суть используемого метода в общем случае заключается в следующем. В пространстве
$\mathbb R^n$ или
$\mathbb C^n$ строится некоторая решётка
$X$, рассматриваемая как
$\mathcal E$-модуль для некоторого евклидова кольца
$\mathcal E$. В силу дискретности
$X$ её группа автоморфизмов
$G$ конечна. Фактор-решётка
$X$ по некоторой подрешётке
$\alpha X$,
$\alpha\in\mathcal E$, рассматривается как векторное пространство над полем
$\mathcal E/\alpha\mathcal E$, на котором вводится билинейная или полуторалинейная форма, индуцированная скалярным произведением в
$\mathbb R^n$ (
$\mathbb C^n$). В результате этого фактор-группа
$G$ по подгруппе скалярных матриц оказывается вложенной в некоторую конечную линейную группу, откуда и следует существование накрытия этой линейной группы или её подгруппы.
В данной работе метод будет продемонстрирован на примере исключительных накрытий
$2\cdot\Omega_8^+(2)$,
$3\cdot\mathrm{U}_4(3)$ и
$4\cdot M_{22}$. В процессе их построения будут также получены исключительные накрытия
$3\cdot A_6$,
$3\cdot A_7$ (в действительности при
$n\ne6,7$ группа
$A_n$ не допускает тройного накрытия) и вложение $\mathrm{U}_4(3)\mathbin{.}2\hookrightarrow\mathrm{U}_6(2)$.
Ключевые слова:
система Штейнера, линейный код, сильно регулярный граф, евклидово кольцо, решётка, простая группа, накрытие группы, мультипликатор Шура.
УДК:
512.542.5