Полиномиальная непрерывность

Отображение $f\colon\,X\to Y$, где $X$, $Y$ — банаховы пространства, называется полиномиально непрерывным (P-непрерывным), если его сужение на любое ограниченное множество является равномерно непрерывным для слабой полиномиальной топологии, т. е. если для любых $\varepsilon>0$ и ограниченного $B\subset X$ существует конечный набор $\{p_1,\ldots,p_n\}$ полиномов на $X$ и $\delta>0$, такие что $\|f(x)-f(y)\|<\varepsilon$ для любых $x,y\in B$, таких что $|p_j(x-y)|<\delta$ $(1\leq j\leq n)$. Каждый компактный (линейный) оператор является P-непрерывным. Пространства $L^\infty [0,1]$, $L^1[0,1]$ и $C[0,1]$, например, содержат полиномы, не являющиеся P-непрерывными. В работе показано, что любой P-непрерывный оператор является слабо компактным и что для любого $k\in\mathbb N$ $(k\geq2)$ существует $k$-однородный полином, принимающий скалярные значения на $\ell_1$, который не является P-непрерывным. Показано, что для пространств, содержащих разделяющий полином, однородная непрерывность и P-непрерывность совпадают. Исследованы также некоторые другие свойства P-непрерывных полиномов.