О пересечении высокого уровня некоторым классом случайных процессов с дискретным временем

Цель работы — изучение асимптотического поведения момента достижения заданного уровня для некоторых случайных процессов с дискретным временем, возникающих в различных приложениях теории вероятностей. Работа построена следующим образом. В § 1 дается описание рассматриваемых систем и формулируются основные результаты. Целочисленные случайные блуждания с задерживающим (а также с поглощающим) экраном в нуле
$$ W_{k}=\max(0,W_{k-1}+X_{k}),\ k\geq1,\ W_{0}=x $$
рассматриваются в § 2. Главный объект исследования $N_{x,n}=\inf\{k\colon W_{k}=n\}$ — это момент переполнения хранилища в терминологии теории запасов. Предельное поведение нормированной случайной величины $\tau_{x,n}=N_{x,n}(\mathrm{E}N_{x,n})^{-1}$ получено для всех начальных состояний $x$ и возможных значений $\mathrm{E}X_{k}$ в том случае, когда независимые одинаково распределенные $X_{k}$ принимают лишь три значения (потребление и пополнение партиями фиксированного объема). Установлена также область устойчивости рассматриваемой модели по отношению к начальному состоянию и параметрам системы. В § 3 речь идет о влиянии двухуровневого управления на систему. В частности, доказано, что $\tau_{x,n}$ асимптотически показательна, если $\mathrm{E}X_{k}<0$ в достаточно широкой полосе, примыкающей к поглощающей границе $n$. В § 4 указываются возможные применения результатов и направления будущих исследований.