Теорема Размыслова–Прочези для представлений колчанов

Исследуются порождающие и определяющие соотношения алгебры инвариантов представлений произвольного колчана. Более точно, пространство представлений фиксированного колчана превращается в рациональный модуль относительно группы изоморфизмов представлений. Например, в простейшем случае, когда колчан состоит из одной вершины и набора петель, инцидентных ей, мы получаем присоединённое действие общей линейной группы на пространстве нескольких $n\times n$ матриц. Категорный фактор этого действия в случае нулевой характеристики описан в классических работах Артина и Прочези, а в случае произвольного бесконечного поля — в работах Прочези и Донкина. Аналогичным образом строится категорный фактор пространства представлений колчана по действию группы изоморфизмов представлений. Как аффинное многообразие этот фактор однозначно определяется своей координатной алгеброй, которая изоморфна алгебре инвариантов группы изоморфизмов представлений, естественным образом действующей на координатной алгебре пространства представлений колчана. Порождающие алгебры инвариантов были недавно описаны Донкиным. В предлагаемой статье доказывается более общий результат. Именно, вводится понятие свободной алгебры инвариантов представлений колчана и доказывается, что ядро естественного эпиморфизма на алгебру инвариантов представлений колчана с фиксированным набором размерностей порождается как T-идеал значениями коэффициентов характеристического многочлена с достаточно большим номером. Это обобщает известную теорему Размыслова–Прочези о матричных тождествах со следом. Кроме того, из доказательства следует и последний результат Донкина о порождающих алгебры инвариантов представлений колчана.