Теорема Нагаты–Хигмана для полуколец

В работе рассматриваются полукольца (вообще говоря, с некоммутативным сложением), в которых выполняется тождество $x^n=0$. Основные результаты таковы.
Теорема. Если в полукольце общего вида без $n!$-кручения выполняется тождество $x^n=0$, то оно нильпотентно. При этом оценки индекса нильпотентности для колец и полуколец общего вида без $n!$-кручения совпадают.
Теорема. Оценки индекса нильпотентности для $l$-порождённых колец и полуколец общего вида с тождеством $x^n=0$ совпадают.
Доказательство опирается на следующую лемму.
Лемма. Если в полукольце общего вида $S$ выполняется тождество $x^n=0$, то $S^n$ — кольцо.