$A^{\land}$-интегрируемость преобразований Фурье

Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на $\mathbb R$, $f(x)\to0$ при $x\to\pm\infty$ и $\varphi\in L(\mathbb R)$ — ограниченная функция. Тогда
$$ (A^{\land})\!\int\limits_{\mathbb R}\hat f(x)\bar{\hat\varphi}(x)\,dx =(L)\!\int\limits_{\mathbb R}f(x)\bar\varphi(x)\,dx. $$

Теорема 2. Пусть $f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\alpha_ke^{ikx}$, где $\alpha_k\in\mathbb C$, $\{\alpha_k\}$ — последовательность ограниченной вариации, $\alpha_k\to0$ ($k\to\pm\infty$), и пусть $g(x)=\sum\limits_{j=-\infty}^{+\infty}\beta_je^{ijx}$, где $\sum\limits_{j=-\infty}^{+\infty}|\beta_j|<\infty$. Тогда
$$ (A)\!\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\bar g(x)\,dx =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\alpha_m\bar\beta_m $$
и
$$ (A)\!\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)g(x)\,dx =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\alpha_m\beta_{-m}. $$