О нижней оценке нормы интегрального оператора свёртки

В работе изучается вопрос о нижней оценке нормы оператора свёртки. Доказано, что если $1<p\leq q<+\infty$, $K(x)\geq0\ \forall x\in\mathbb R^n$ и оператор
$$ (Af)(x)=\int_{\mathbb R^n}K(x-y)f(y)\,dy=K*f $$
ограниченно действует из $L_p$ в $L_q$, то существует константа $C(p,q,n)$, такая что
$$ C\sup_{e\in Q(C)}\frac{1}{|e|^{1/p-1/q}} \int_e K(x)\,dx\leq\|A\|_{L_p\to L_q}. $$
Здесь $Q(C)$ — множество всех измеримых по Лебегу множеств конечной меры, удовлетворяющих условию $|e+e|\leq C\cdot |e|$, $|e|$ — мера Лебега множества $e$. Если $1<p<q<+\infty$, оператор $A$ ограниченно действует из $L_p$ в $L_q$ и $\mathfrak Q$ — множество всех гармонических отрезков, то существует константа $C(p,q,n)$, такая что
$$ C\sup_{e\in\mathfrak Q}\frac{1}{|e|^{1/p-1/q}} \biggl|\,\int_e K(x)\,dx\biggr|\leq\|A\|_{L_p\to L_q}. $$