Теорема чередования для матриц, графом которых является фиксированное дерево

Пусть $A$ и $B$ — $(n\times n)$-матрицы. Для множества индексов $S\subset\{1,\ldots,n\}$ обозначим через $A(S)$ главную подматрицу, лежащую в строках и столбцах, занумерованных элементами $S$. Обозначим через $S'$ дополнение к $S$ и определим $\eta(A,B)=\sum\limits_S\det A(S)\det B(S')$, где суммирование ведётся по всем подмножествам $\{1,\ldots,n\}$ и считается, что $\det A(\varnothing)=\det B(\varnothing)=1$. К. Р. Джонсон предположил, что если $A$ и $B$ — эрмитовы матрицы и матрица $A$ является неотрицательно определённой, то многочлен $\eta(\lambda A,-B)$ имеет только вещественные корни. Г. Рублейн и Р. Б. Бапат доказали, что это верно при $n\leq3$. Бапат также доказал соответствующий результат для любых $n$ при дополнительном предположении, что обе матрицы $A$ и $B$ являются трёхдиагональными. В этой работе некоторые мало известные результаты о характеристических многочленах и присоединённых матрицах деревьев обобщены на матрицы, графом которых является фиксированное дерево. Доказана гипотеза для любого $n$ при дополнительном предположении, что обе матрицы $A$ и $B$ являются матрицами, граф которых — дерево.