Стандартные базисы, согласованные с нормированием, и вычисления в идеалах и полилинейных рекуррентах

В работе продолжено начатое А. А. Нечаевым, Д. А. Михайловым и автором исследование согласованных с нормированием стандартных базисов идеалов кольца полиномов $R[X]=R[x_1,\ldots,x_k]$ над коммутативным артиновым цепным кольцом $R$. Введены новые, основанные на координатном разложении элементов из $R$, порядок на одночленах и алгоритм редуцирования полинома полиномом; доказано, что всякий идеал имеет единственный редуцированный, в смысле этого алгоритма, стандартный базис. Решены некоторые классические вычислительные задачи: построение системы представителей классов вычетов, нахождение порождающих модуля сизигий, вычисление частных и пересечений идеалов, задача элиминации. Построен алгоритм проверки цикличности ЛРП-семейства $L_R(I)$, обобщающий ранее известные результаты на случай многих переменных. Найдены новые условия, определяющие, когда данные диаграмма Ферре $\mathcal F$ и полная система $\mathcal F$-унитарных полиномов образуют регистр сдвига; на основании этих результатов построен алгоритм поднятия редуцированного базиса Грёбнера унитарного идеала до стандартного базиса той же мощности.