Проблемы алгебры, инспирированные универсальной алгебраической геометрией

Пусть $\Theta$ — многообразие алгебр. Для каждого многообразия $\Theta$ и каждой алгебры $H$ из $\Theta$ можно рассмотреть алгебраическую геометрию многообразия $\Theta$ над алгеброй $H$. Мы также рассматриваем специальный категорный инвариант $K_\Theta(H)$ этой геометрии. Классическая алгебраическая геометрия имеет дело с многообразием $\Theta=\mathrm{Com-}P$ всех ассоциативных и коммутативных алгебр над некоторым полем констант $P$. Алгебра $H$ в этих обозначениях является расширением базисного поля $P$. Геометрия в группах связана с многообразиями $\mathrm{Grp}$ и $\mathrm{Grp-}G$, где $G$ — группа констант. Случай $\mathrm{Grp-}F$, где $F$ — свободная группа, связан с проблемами Тарского, посвящённым логике свободной группы. Описываемое общее понимание алгебраической геометрии в различных многообразиях алгебр инспирирует некоторые новые проблемы в алгебре и алгебраической геометрии. Задачи такого типа в большой степени определяют содержание универсальной алгебраической геометрии. Например, общей и естественной задачей является следующая: когда алгебры $H_1$ и $H_2$ имеют одну и ту же геометрию? Или, более точно, каковы условия на алгебры из данного многообразия $\Theta$ для того, чтобы алгебраические геометрии над ними совпадали? Мы рассматриваем два варианта совпадения: 1) $K_\Theta(H_1)$ и $K_\Theta(H_2)$ изоморфны; 2) данные категории эквивалентны. Эта проблема напрямую связана со следующей общей алгебраической проблемой. Пусть $\Theta^0$ — категория всех свободных в многообразии $\Theta$ алгебр $W=W(X)$, где $X$ конечно. Рассматриваются группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}(\Theta^0)$, а также группы автоэквивалентностей категории $\Theta^0$. Проблемой является описание этих групп для разных $\Theta$.