О конечной базируемости абстрактных $T$-пространств

Пусть $F=k\langle x_1,\dots,x_i,\dots\rangle$ — свободная счетно-порожденная алгебра над полем $k$ характеристики 0. Векторное подпространство $V$ алгебры $F$ называется $T$-пространством, если оно замкнуто относительно подстановок. Ясно, что идеал $I$ алгебры $F$ является $T$-идеалом в том и только том случае, когда $I$ — $T$-пространство в $F$. Цель настоящей статьи — ввести определение абстрактного $T$-пространства и доказать конечную базируемость широкого класса $T$-пространств.
Основным результатом является
Теорема. Пусть $I$ — $T$-идеал алгебры $F$, содержащий некоторый многочлен Капелли. Тогда каждое $T$-пространство в $F/I$ конечно базируемо.
Теорема позволяет положительно решить локальную проблему Шпехта (А. Р. Кемер дал положительное решение проблемы Шпехта, используя другой подход) и проблему представимости.