Многомерное дробное движение Леви и его приложения

С начала 1990-х гг. было проведено большое число эмпирических исследований трафика реальных телекоммуникационных систем. Было обнаружено, что он обладает рядом специфических свойств, отличающих его от обычного голосового трафика, а именно: он обладает свойствами самоподобия и долговременной зависимости и распределение величины нагрузки, поступающей от одного источника, имеет тяжелые хвосты. Были построены новые модели трафика, которые обладали указанными свойствами. Наиболее известные из них — дробное броуновское движение и $\alpha$-устойчивое движение Леви. Но каждая из этих моделей обладает только частью из перечисленных выше свойств. Были предприняты попытки построить более сложные модели, являющиеся комбинацией этих двух, в частности, предложен некоторый вариант одномерного дробного движения Леви. В настоящей работе рассматривается многомерный аналог дробного движения Леви. Этот процесс представляет собой многомерное дробное броуновское движение со случайной заменой времени, в качестве которой рассматривается $\alpha$-устойчивое движение Леви с односторонними устойчивыми распределениями. Изучены свойства этого процесса, показано, что он является самоподобным и имеет стационарные приращения. Показано также, что координаты одномерных сечений этого процесса имеют распределения, отличные от устойчивых. Но асимптотика хвостов этих распределений в точности такая же, как и у устойчивых распределений. Далее эта модель использована для анализа неоднородного трафика, и получена нижняя асимптотическая оценка для вероятности переполнения хотя бы одного буфера при условии, что все буферы большие. Возможны и другие приложения.