Аналоги теоремы Глезера для отрицательных биномиальных и обобщенных гамма-распределений и некоторые их приложения

Доказано, что отрицательные биномиальные распределения с параметром формы, меньшим единицы, являются смешанными геометрическими распределениями. Смешивающее распределение выписывается в явном виде. Тем самым на дискретный случай перенесен аналогичный результат Л. Глезера, устанавливающий, что гамма-распределения с параметром формы, меньшим единицы, являются смешанными показательными законами. Также доказан аналог теоремы Глезера для обобщенных гамма-распределений (GG-распределений, Generalized Gamma distributions). Для смешанных биномиальных распределений, связанных с отрицательными биномиальными распределениями с параметром формы, меньшим единицы, рассмотрен случай малой вероятности успеха и доказан аналог теоремы Пуассона. С помощью представления отрицательных биномиальных распределений в виде смешанных геометрических законов доказаны предельные теоремы для отрицательных биномиальных случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин (с.в.), в частности аналоги закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Рассмотрены случаи как легких, так и тяжелых хвостов. Получены выражения для моментов предельных распределений. Полученные альтернативные эквивалентные представления предельных законов в виде смесей позволяют получить лучшее понимание механизмов, формирующих смешанные вероятностные (байесовские) модели.