О распределении отношения суммы элементов выборки, превосходящих некоторый порог, к сумме всех элементов выборки. I

Рассматривается задача описания распределения доли суммы независимых случайных величин, которая составлена из слагаемых, превосходящих некоторый заданный порог. В отличие от известных вариантов такой задачи, в которых фиксируется число суммируемых крайних порядковых статистик, особенность рассматриваемой здесь задачи состоит в том, что заданный порог может быть превзойден непредсказуемым числом элементов выборки. В статье в терминах функции распределения отдельного слагаемого формально представлен явный вид распределения отношения суммы элементов выборки, превосходящих заданный порог, к сумме всех наблюдений. На эвристическом уровне выведены асимптотические и предельные распределения этого отношения при фиксированном пороге, удобные для использования в качестве асимптотических аппроксимаций в практических вычислениях. Рассмотрены ситуации, в которых распределение слагаемых имеет легкий хвост (конечны вторые моменты), и ситуации, в которых распределение слагаемых имеет тяжелый хвост (принадлежит к области притяжения устойчивого закона). Во всех случаях описана нормировка отношения, гарантирующая невырожденность предельного (при неограниченном увеличении числа слагаемых) распределения, и само предельное распределение (нормальное в случае легких хвостов и устойчивое в случае тяжелых хвостов).