Рынок с марковской скачкообразной волатильностью I: мониторинг цены риска как задача оптимальной фильтрации

Первая часть цикла посвящена исследованию задачи определения рыночной цены риска в финансовой системе, содержащей безрисковый актив — банковский вклад, базовые рисковые инструменты и их деривативы. Модель эволюции базовых активов, описываемая стохастической дифференциальной системой (СДС), содержит стохастическую волатильность, порожденную скрытым марковским скачкообразным процессом (МСП). Исследуемый рынок предполагается неполным с отсутствием возможности арбитража. Рыночная цена риска, соответствующая преобладающей мартингальной мере, выражается через скрытый марковский процесс и не может быть восстановлена точно. Тем не менее она может быть оценена оптимальным образом по наблюдениям цен активов. Исходя из наличия преобладающей мартингальной меры в статье получена СДС в частных производных, описывающая эволюцию во времени цены деривативов и являющаяся аналогом классического уравнения Блэка–Шоулза. Задача оценки рыночной цены риска сформулирована в терминах оптимальной фильтрации состояния СДС наблюдения. Также обсуждаются вопросы численной реализации решения данной задачи оценивания.