Многомерные точные решения одного класса нелинейных эллиптических систем

Для моделирования плазмы применяют обычно уравнения Больцмана, Власова и другие аналогичные уравнения и системы уравнений с частными производными. Для них требуется отыскивать решения, удовлетворяющие заданным начальным и краевым условиям, что представляет собой весьма трудноразрешимую задачу. Поэтому обычно проводят редукцию к более простой задаче, описываемой, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями. На этом пути группой французских математиков была предложена модель магнитной изоляции электронов в плоском вакуумном диоде, описываемая системой двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для этой модели ее разработчики рассматривали задачу нахождения всех ее точных решений, т. е. полного интегрирования. В данной статье мы рассматриваем класс систем эллиптического типа с многомерным оператором Лапласа, включающий обобщение модели вакуумного диода, изучавшейся французскими математиками. Такого рода системы встречаются также в моделях химической технологии, математической биологии и других прикладных областях. Установлено, что решениями рассматриваемого класса систем двух нелинейных уравнений эллиптического типа могут быть только решения линейного уравнения Гельмгольца. Показано, что свойства решений уравнения Гельмгольца могут наследоваться решениями изучаемой нелинейной системы. Предложен способ конструирования радиально симметричных точных решений. Рассмотрен целый ряд примеров систем с управлением, для которых найдены параметрические семейства точных решений, в том числе анизотропных по пространственным переменным, заданных элементарными или гармоническими функциями. В том числе указаны примеры глобальных решений, которые определены на всем пространстве. Полученные в статье явные выражения точных решений могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, настройки и адаптации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для обобщенной модели магнитной изоляции.