О порядке сингулярности обобщенного решения интегрального уравнения Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах

При изучении интегральных уравнений Вольтерра сверточного типа на полуоси с фредгольмовым оператором в главной части и операторнозначным ядром $\mathcal{K}=\mathcal{K}(t)$ в банаховых пространствах естественным образом возникает задача построения обобщенного $\mathcal{K}(t)$-жорданова набора. Исследование таких уравнений в условии полноты жордановой структуры впервые выполнено в работах Н. А. Сидорова, в которых решена проблема разрешимости рассматриваемых задач в классе непрерывных функций. Вопросам существования и единственности обобщенного решения (в классе распределений с ограниченным слева носителем) посвящен цикл работ М. В. Фалалеева. В них предложен подход, связанный с конструкцией фундаментальной оператор-функции — аналогом классического понятия фундаментального решения. Однако, применение техники указанных работ становится весьма затруднительным, когда ядро интегрального уравнения имеет нуль какого-либо порядка в точке $t=0$. В этом случае неясно каким образом выстраивается обобщенная жорданова структура. Аналогичная проблема возникает при исследовании вырожденных линейных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с дифференциальной частью высокого порядка, в которой отсутствует хотя бы одно слагаемое наивысшего порядка группы младших производных. Таким образом, вопрос о разрешимости вырожденных интегральных уравнений типа свертки с ядром, обладающим такой особенностью, остается открытым. Между тем к ним допускают редукцию краевые задачи, возникающие, например, в физике плазмы. Поэтому интерес к подобным математическим объектам вызван также их прикладной значимостью. В данной работе на примере интегрального уравнения специального вида исследован описанный феномен. Показано, что наличие в точке $t=0$ нуля у ядра интегрального уравнения приводит к увеличению порядка сингулярности обобщенного решения. Установлена связь между кратностью нуля ядра в начальной точке и порядком сингулярности решения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции соответствующего интегрального оператора. На этой основе получены достаточные условия существования и единственности обобщенного решения. Приведены примеры, иллюстрирующие абстрактные результаты.