Приложения функций типа Ляпунова к задачам оптимизации в импульсных управляемых системах

В статье обсуждается применение функций типа Ляпунова к условиям оптимальности импульсных процессов. Рассматривается задача оптимального импульсного управления с траекториями ограниченной вариации и импульсными управлениями типа регулярной векторной меры. Эта задача характеризуется двумя основными особенностями. Во-первых, управляемая система линейна по импульсному управлению и может не удовлетворять так называемому условию корректности типа Фробениуса. Это приводит к появлению дополнительной компоненты управления, позволяющей связать соответствующую разрывную траекторию с аппроксимирующей последовательностью абсолютно непрерывных траекторий. Во-вторых, в задаче имеются промежуточные фазовые ограничения на односторонние значения траекторий в заданные моменты времени. Для задачи оптимального импульсного управления с промежуточными фазоограничениями получены достаточные условия оптимальности, относящиеся к канонической теории оптимальности Гамильтона–Якоби. Они основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова — решений соответствующих проксимальных неравенств типа Гамильтона–Якоби. Наличие в задаче промежуточных фазоограничений потребовало применения составных функций типа Ляпунова, кусочно определенных по переменной времени $t.$ Непрерывные компоненты составных функций обладают свойством сильной монотонности относительно импульсной управляемой системы на соответствующих промежутках времени $t.$ При этом для получения симметричных результатов и расширения области применения условий оптимальности в составные функции включены необязательные компоненты, обладающие свойством сильной монотонности относительно предельной системы, описывающей эволюцию скачков разрывных траекторий. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие представленные условия оптимальности.