Наблюдаемость в классе функций Чебышева систем дифференциально-алгебраических уравнений
П. С. Петренко Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН
Аннотация:
Рассматриваются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, не разрешенные относительно производной искомой вектор-функции и тождественно вырожденные в области определения. Такие системы называются системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). Мерой неразрешенности ДАУ относительно производных служит целочисленная величина, называемая индексом. Допускается произвольно высокий индекс, не превышающий порядок рассматриваемой системы. Анализ проводится в предположении существования структурной формы с разделенными дифференциальной и алгебраической подсистемами. Эта структурная форма эквивалентна искомой системе в смысле решений, а оператор, преобразующий исходную систему ДАУ к этой структурной форме, обладает левым обратным оператором. Построение структурной формы носит конструктивный характер и не использует замену переменных, при этом автоматически решается проблема согласования начальных условий. Этот подход использует понятие
$r$-продолженной системы, где
$r$ — индекс неразрешенности. Необходимым и достаточным условием существования структурной формы является наличие в матрице, описывающей
$r$-продолженную систему неособенного минора порядка
$n(r + 1)$, где
$n$ — размерность рассматриваемой системы ДАУ. Исследуется наблюдаемость системы ДАУ по заданному скалярному выходу. Задача наблюдаемости состоит в нахождении вектора состояния системы на основании неполных данных о его компонентах, заданных с помощью выходной функции. В качестве класса функций разрешающих операций, т. е. решающих задачу наблюдаемости, кроме кусочно-непрерывных рассматривается класс обобщенных функций Чебышева. Получено достаточное условие
$R$-наблюдаемости (наблюдаемости в пределах множества достижимости) линейных нестационарных систем ДАУ в классе многочленов Чебышева. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрен пример.
Ключевые слова:
наблюдаемость, дифференциально-алгебраические уравнения, функции Чебышева.
УДК:
517.926,
517.977.1
MSC: 34A09,
93B07
DOI:
10.26516/1997-7670.2017.20.61