Approximation of analytic functions by universal Vallee-Poussin sums on the Chebyshev polynomials

Как известно, многочлены Чебышёва обеспечивают наилучшее равномерное приближение функции. Они являются частным случаем многочленов Фабера. А. И. Швай (1973) доказал, что суммы Валле-Пуссена являются лучшим аппаратом приближения по сравнению с частичными суммами ряда по многочленам Фабера. Поэтому с точки зрения наилучших приближений естественно рассмотреть приближение функций с помощью сумм Валле-Пуссена по многочленам Чебышёва, хотя изучение этих сумм с любых точек зрения представляет определённый интерес. И как отмечают авторы О. Г. Ровенская и О. А. Новиков (2016), «в течение последних десятилетий суммы Валле-Пуссена и их особые случаи (суммы Фурье и суммы Фейера) интенсивно изучались многими выдающимися специалистами в теории функций».
Авторами (2017) данной статьи доказана теорема о суммируемости универсального ряда по многочленам Чебышёва. В настоящей работе найдена подпоследовательность преобразованных сумм Валле-Пуссена, удовлетворяющая условиям этой теоремы, то есть эти суммы являются частным случаем специальных сумм, построенных в упомянутой теореме авторов. Таким образом, указанная выше подпоследовательность сумм Валле-Пуссена обладает свойством универсальности. С помощью так называемых матричных преобразований получено также обобщение этого свойства для данных сумм, которое заключается в следующем: на основе выделенной подпоследовательности строятся суммы, равномерно приближающие любую функцию из определённого класса на компактных специальным образом определённых множествах. Таким образом, построенные суммы обладают свойством универсальности, которое в разное время изучали многие авторы для функциональных рядов. В частности, для рядов Фурье, Дирихле, Фабера, Эрмита и др. Затем изучались обобщения этого свойства. Например, W. Luh (1976) обобщил свойство универсальности степенного ряда.
Существование универсальных рядов и их обобщений доказывалось разными способами в зависимости от специфики рассматриваемых функций и применимости методов. Первым автором (1990) разработан метод матричных преобразований, который в дальнейшем применялся при решении подобных задач (1997, 2012, 2013, 2017). Этот же метод используется при доказательстве основного результата данной работы. W. Luh использовал другой метод.