Об аналитических решениях задачи о движении теплового фронта для нелинейного уравнения теплопроводности с источником

В настоящей работе авторы продолжают исследования специальных краевых задач для нелинейного параболического уравнения теплопроводности (в англоязычной литературе — «the porous medium equation»). В случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры указанное уравнение используется при описании процессов лучистой теплопроводности, фильтрации политропного газа в пористом грунте, миграции биологических популяций и т. д. Кроме того, уравнение обладает специфическими нелинейными свойствами, интересными как с физической, так и с математической точек зрения. Известно, например, что скорость распространения возмущений, им описываемых, может быть конечной. Один из содержательных классов решений уравнения составляют тепловые волны (волны фильтрации). Геометрически такие решения представляют собой две интегральные поверхности, непрерывно состыкованные вдоль некоторой кривой, называемой фронтом тепловой волны. В предлагаемой статье рассматривается краевая задача, имеющая такого рода решения. Исследование проводится в классе аналитических функций с помощью метода характеристических рядов, предложенного Р. Курантом и адаптированного для нелинейных параболических уравнений в научной школе А. Ф. Сидорова. Ранее авторы уже исследовали похожие задачи в случае замкнутого фронта волны при отсутствии источника. Для каждой из рассмотренных задач были построены решения в виде характеристических рядов, а также доказаны соответствующие теоремы существования, гарантирующие сходимость. В настоящей работе исследуется плоскосимметричная задача с заданным фронтом при наличии источника. Доказана теорема существования аналитического решения (возмущенной составляющей тепловой волны), указанное решение построено в виде степенного ряда. Рассмотрен содержательный частный случай, в котором источник задается степенной функцией (подобный способ задания часто встречается в приложениях). Показано, что в этом случае исходную задачу можно свести к задаче Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.