Ways of obtaining topological measures on locally compact spaces

Топологические меры и квазилинейные функционалы являются обобщением мер и линейных функционалов. Дефектные топологические меры, в свою очередь, являются обобщением топологических мер. В этой статье мы продолжаем исследование топологических мер на локально компактных пространствах. На компактном пространстве существующие способы получения топологических мер — это (a) метод, использующий супер-меры, (б) композиция $q$-функции с топологической мерой и (в) метод с использованием дефектных топологических мер и единичных точек. Эти способы применимы, когда компактное пространство является связным, локально связным, а также имеет определённую топологическую характеристику, которая называется «род», равную $0$ (интуитивно, у таких пространств нет дыр). Мы обобщаем известные способы на случай, когда пространство локально компактное, связное, локально связное, и его компактификация Александрова имеет род $0$. Mы даём определение супер-мер и $q$-функций на локально компактном пространстве. Затем мы получаем методы построения новых топологических мер, используя супер-меры, а также композиции $q$-функций с дефектными топологическими мерами. Мы также обобщаем существующий метод и приводим новый метод с использованием точки и дефектной топологической меры на локально компактном пространстве. Представленные способы позволяют получить большое количество разнообразных конечных и бесконечных топологических мер на таких пространствах, как $\mathbb{R}^n$, полупространства в $\mathbb{R}^n$, открытые шары в $\mathbb{R}^n$, и проколотые замкнутые шары в $\mathbb{R}^n$ с индуцированной топологией (где $n\geqslant 2$).