Краткие сообщения
О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа $G_2$
С. К. Франчук Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация
Аннотация:
В статье рассматриваются подгруппы групп Шевалле, определяемые коврами — наборами аддитивных подгрупп основного кольца определения. Такие подгруппы называются ковровыми и они порождаются корневыми элементами с коэффициентами из соответствующих аддитивных подгрупп. По определению ковер замкнутый, если определяемая им ковровая подгруппа не содержит новых корневых элементов. Одним из принципиально важных вопросов при изучении ковровых подгрупп является вопрос о замкнутости исходного ковра. Известно, что этот вопрос редуцируется к неприводимым коврам, т. е. к коврам, все аддитивные подгруппы которых ненулевые [8; 11].
В данной работе описываются неприводимые ковры типа
$G_2$ над полем
$K$ характеристики
$p>0$, все аддитивные подгруппы которых являются
$R$-модулями, в том случае, когда
$K$ — алгебраическое расширение поля
$R$. Доказано, что такие ковры являются замкнутыми и могут параметризоваться двумя различными полями только при
$p=3$, а для других
$p$ они определяются одним полем и в этом случае соответствующие им ковровые подгруппы с точностью до сопряжения диагональным элементом совпадают с группами Шевалле типа
$G_2$ над промежуточными подполями
$P$,
$R \subseteq P \subseteq K$.
Ключевые слова:
группа Шевалле, ковер аддитивных подгрупп, ковровая подгруппа, неприводимый ковер, система корней.
УДК:
512.5
MSC: 22E05 Поступила в редакцию: 17.01.2019
DOI:
10.26516/1997-7670.2019.27.80