A short calculation of the multiple sum of Krivokolesko–Leinartas with linear constraints on summation indices

В конце 1970-х гг. автором был разработан метод интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм различного типа (метод коэффициентов) с использованием формальных степенных рядов Лорана над $\mathbb C$, теории аналитических функций и теории кратных вычетов в $\mathbb C^n$. С тех пор этот метод нашел многочисленные применения в различных областях математики в нашей стране и за рубежом. На наш взгляд, особенно интересно и актуально использование метода коэффициентов при решении трудной проблемы вычисления кратных сумм с линейными ограничениями на индексы суммирования. Проблемы такого типа нередко возникают на практике при решении различных комбинаторных задач. Например, в 2016 г. автором в статье, опубликованной в журнале «Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика», была вычислена кратная сумма с $q$-биномиальными коэффициентами и линейными рекуррентными соотношениями на индексы суммирования, возникшая при перечислении всех собственных $t$-мерных подпространств $V_m$ над полем $GF(q)$.
В 2012 году В. П. Кривоколеско и Е. К. Лейнартас в журнале «Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика» доказали с использованием композиции Адамара кратное тождество с полиномиальными коэффициентами и ограничениями различного типа на пределы суммирования, содержащее семейство свободных параметров. Это тождество является обобщением тождеств, изученных ранее несколькими авторами, начиная с построения фильтров Добеши в вейвлет-теории. Здесь по стандартной схеме метода коэффициентов проведено, не зная ответа, короткое и простое вычисление кратной суммы Кривоколеско–Лейнартаса. Это вычисление также автоматически дает эквивалентный способ вычисления указанной суммы с помощью традиционного метода производящих функций, используя лишь хорошо известные операции над соответствующими кратными степенными рядами Лорана.