On invariant sets for the equations of motion of a rigid body in the Hess–Appelrot case

Рассматривается задача о движении твердого тела в случае Гесса–Аппельрота, когда уравнения движения кроме трех первых интегралов имеют инвариантное многообразие Гесса. На основе метода Рауса–Ляпунова и его обобщений проводится качественный анализ дифференциальных уравнений на этом многообразии. Выделяются стационарные инвариантные множества указанных уравнений и исследуется их устойчивость по Ляпунову. Под стационарными понимаются множества, состоящие из траекторий уравнений движения и обладающие экстремальным свойством: на этих множествах удовлетворяются необходимые условия экстремума элементов алгебры первых интегралов задачи. В статье предлагается некоторое расширение методики нахождения таких множеств: получение новых множеств из ранее известных, применение “обратного метода Лагранжа”. С использованием этих способов для дифференциальных уравнений на многообразии Гесса найдено семейство инвариантных многообразий, из которого получено несколько инвариантных многообразий более высокой размерности, чем многообразия семейства, и проведен анализ дифференциальных уравнений на одном из них. Найдены положения равновесия и семейства перманентных вращений тела. Для ряда решений получены достаточные условия устойчивости.