Задача Коши для системы интегральных уравнений типа Вольтерра, описывающей движение конечной массы самогравитирующего газа

В статье изучается задача Коши для системы нелинейных интегродифференциальных уравнений газовой динамики, описывающей нестационарное движение конечной массы самогравитирующего газа, ограниченной свободной границей. Предполагается, что движение газа рассматривается при условии, что свободная граница во все моменты времени состоит из одних и тех же частиц. Это делает удобным переход от эйлеровых к лагранжевым координатам. Первоначально данная система в эйлеровых координатах преобразуется в систему интегродифференциальных уравнений в лагранжевых координатах. Доказана лемма об эквивалентности этих систем. Затем система в переменных Лагранжа преобразуется к системе, состоящей из интегральных уравнений типа Вольтерра и уравнения неразрывности, для которой с помощью метода последовательных приближений доказана теорема существования решения задачи Коши. Методом математической индукции доказана непрерывность решения и принадлежность искомых функций пространству бесконечно дифференцируемых функций, доказана их ограниченность и единственность полученного решения. Решение системы интегральных уравнений типа Вольтерра определяет отображение начальной области в область движущегося газа, а также задает закон движения свободной границы как отображение точек начальной границы.