Formulas and properties for families of theories of Abelian groups

Формулы первого порядка отражают информацию о семантических и синтаксических свойствах. Связи между формулами и свойствами определяют их экзистенциальные и универсальные взаимосвязи, которые создают как структурные, так и топологические возможности для характеристик, позволяющих классифицировать семейства семантических и синтаксических объектов. Адаптируются общие подходы, описывающие связи между формулами и свойствами для семейств абелевых групп и их теорий, определяя возможности характеристик формул и свойств, включая значения рангов. Эта адаптация основана на формулах, сводящих каждую формулу к подходящей булевой комбинации формул, определяющих шмелевские инварианты для теорий абелевых групп. Используя эту базируемость, описывается трихотомия возможностей значений ранга для предложений, определяющих окрестности для множества теорий абелевых групп: ранг может быть равен $-1$, $0$ или $\infty$. Тем самым, окрестности либо конечны, либо содержат континуальное число теорий. Используя трихотомию, показывается, что каждое предложение, определяющее окрестность, либо принадлежит конечному множеству его теорий, либо является генерическим. Также вводится понятие богатого свойства и обобщаются основные результаты для таких свойств.