Analysis of dual null field methods for Dirichlet problems of Laplace's equation in elliptic domains with elliptic holes: bypassing degenerate scale

Двойственные методы часто используются для решения проблемы сингулярности и плохой обусловленности метода граничных элементов (МГЭ). В статье усилия авторов направлены на изучение теоретических аспектов данной проблемы, включая анализ ошибок и исследование устойчивости, чтобы заполнить пробел между теорией и вычислительным экспериментом. Ранее авторами выполнен анализ уравнения Лапласа в круговых областях с круговыми отверстиями, а в настоящей статье рассматриваются эллиптические области с эллиптическими отверстиями. Получены явные алгебраические уравнения первого и второго вида метода нулевого поля (МНП) и метода внутреннего поля (MВП). Традиционно первый и второй виды МНП используются соответственно для задач Дирихле и Неймана. Чтобы преодолеть алгоритмическую сингулярность в задаче Дирихле, второй и первый виды МНП используются для внешних и внутренних границ одновременно. Такой подход называется методом двойственного нулевого поля (ДМНП). В результате проведенного исследования достигнуты быстрая сходимость и хорошая устойчивость ДМНП. Данная статья является первой частью исследования и касается теоретических аспектов, вторая часть будет посвящена вычислительным экспериментам.