Принцип максимума Понтрягина и непрямой метод спуска в задаче оптимального импульсного управления нелокальным уравнением переноса

Рассматривается вырожденная задача оптимального управления нелокальным транспортным уравнением на пространстве вероятностных мер, в которой зависимость векторного поля от переменной управления в определенном смысле эквивалентна аффинной, а множество управляющих воздействий ограничено лишь интегрально (не ограничено по норме). Показано, что поставленная задача допускает импульсно-траекторное расширение в терминах так называемой разрывной замены времени. Это расширение дает корректную постановку «ослабленной» вариационной задачи в классе управлений, ограниченных как в поточечном, так и в интегральном смысле. Для ослабленной задачи получен принцип максимума Понтрягина в форме, новой для теории управления в среднем поле, с выделенной сопряженной системой линейных законов баланса на пространстве знакопеременных мер. В отличие от канонической формулировки принципа максимума Понтрягина в терминах гамильтонова уравнения на кокасательном расслоении фазового пространства, решение которого всегда сингулярно, полученный результат допускает интерпретацию в терминах плотности соответствующих распределений и позволяет сформулировать непрямой метод последовательных приближений «градиентного» типа. Представлена одна из реализаций такого метода — алгоритм наискорейшего спуска в классе слабых вариаций управления с внутренней процедурой линейного поиска по множителю Лагранжа, отвечающему интегральному ограничению на управление. Показано, что алгоритм сходится с точностью до подпоследовательности к экстремальному процессу.