On algebraic and definable closures for theories of abelian groups

Отмечено, что при классификации абелевых групп и их элементарных теорий возникает ряд характеристик, описывающих те или иные особенности рассматриваемых объектов. Среди этих характеристик особую роль играют шмелевские инварианты, задающие возможности делимости элементов, порядков элементов, размерности подгрупп и позволяющие описывать данные абелевы группы с точностью до элементарной эквивалентности. Указано, что в терминах шмелевских инвариантов представляются синтаксические свойства абелевых групп, т. е. свойства, зависящие лишь от их элементарных теорий. На базе шмелевских инвариантов приведено описание поведения операторов алгебраического и определимого замыканий на основе двух характеристик: степеней алгебраизации и разницы между алгебраическими и определимыми замыканиями. Тем самым изучены и описаны возможности для алгебраических и определимых замыканий, адаптированные к теориям абелевых групп. Доказана теорема о трихотомии для степеней алгебраизации: либо эта степень минимальная, если в стандартных моделях, кроме единственной двухэлементной группы, нет положительно конечного числа циклических и квазициклических частей, либо степень положительная и натуральная, если в стандартной модели нет положительного конечного числа циклических и квазициклических частей, кроме единственной копии двухэлеметной группы и некоторой конечной прямой суммы конечных циклических частей, и степень бесконечна, если стандартная модель содержит неограниченное число неизоморфных конечных циклических частей или положительное конечное число копий квазиконечных частей. Кроме того, установлена дихотомия значений разности между алгебраическими замыканиями и определимыми замыканиями для абелевых групп, определяемых шмелёвскими инвариантами для циклических частей. В частности, показано, что абелевы группы без кручения квазиурбаниковы.