Рекуррентные и почти автоморфные сечения многозначных отображений

Пусть $(U,\rho )$ — полное метрическое пространство, $({\mathrm {cl}}_{\, b}\, U,{\mathrm {dist}})$ — метрическое пространство непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $U$ с метрикой Хаусдорфа ${\mathrm {dist}}$. На множестве $M({\mathbb R},U)$ сильно измеримых функций $f\colon{\mathbb R}\to U$ рассматривается метрика $d^{(\rho )},$ сходимость в которой эквивалентна сходимости по мере Лебега на каждом отрезке $[-l,l]$, $l>0$. Аналогично определяется метрика $d^{({\mathrm {dist}})}$ на множестве $M({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)$ сильно измеримых многозначных отображений $f\colon{\mathbb R}\to {\mathrm {cl}}_{\, b}\, U$ (рассматриваемых как функции со значениями в ${\mathrm {cl}}_{\, b}\, U$). Пространства $M({\mathbb R},U)$ и $M({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)$ являются фазовыми пространствами динамических систем сдвигов. Для многозначного рекуррентного типа Степанова отображения $F\in {\mathcal R}({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)\subseteq M({\mathbb R},{\mathrm {cl}}_{\, b}\, U)$ и для любых $x_0\in U$ и неубывающей функции $\eta \colon[0,+\infty )\to [0,+\infty ),$ для которой $\eta (0)=0$ и $\eta (\xi )>0$ при $\xi >0$, доказано существование гомоморфизма динамических систем ${\mathcal F}\colon\overline {{\mathrm {orb}}\, F}=\overline {\{ F(\cdot +t)\colon t\in {\mathbb R}\} }\to M({\mathbb R},U),$ для которого $({\mathcal F}F^{\, \prime })(t)\in F^{\, \prime }(t)$ и $\rho (({\mathcal F}F^{\, \prime })(t),x_0)\leqslant \rho (x_0,F^{\, \prime }(t))+\eta \bigl( \rho (x_0,F^{\, \prime }(t))\bigr) $ при всех $F^{\, \prime }\in \overline {{\mathrm {orb}}\, F}$ и п.в. $t\in {\mathbb R}$. При этом ${\mathcal F}F^{\, \prime }$ — рекуррентные типа Степанова функции. Если $F$ — почти автоморфное типа Степанова многозначное отображение, то ${\mathcal F}F$ — почти автоморфная типа Степанова функция.