Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции

Рассматриваются ультрафильтры (максимальные фильтры) и максимальные сцепленные системы на $\pi$-системах с «нулем» и «единицей». Обсуждаются различные варианты топологического оснащения и получающиеся на их основе битопологические пространства. Отмечается, что битопологическое пространство ультрафильтров может рассматриваться как подпространство битопологического пространства максимальных сцепленных систем. Устанавливаются необходимые и достаточные условия максимальности фильтров, а также свойства, характеризующие максимальные сцепленные системы, не являющиеся ультрафильтрами, и выясняются некоторые условия, достаточные для существования таких систем. Указаны условия, при которых битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем являются вырожденными (топологии, определяющие соответствующее битопологическое пространство, совпадают), а также условия, гарантирующие невырожденность. Приведен новый вариант свойства плотности исходного множества в пространстве ультрафильтров с топологией волмэновского типа. Данный вариант может использоваться при построении расширений абстрактных задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера.