Топология на абелевых группах

Фильтр $\varphi$ на абелевой группе называется $T$-фильтром, если существует такая групповая хаусдорфова топология, в которой $\varphi$ сходится к нулю. Группа $G$, снабженная максимальной топологией, в которой $T$-фильтр $\varphi$ сходится к нулю, обозначается $G\{\varphi\}$. Такое определение топологии на группе вполне равносильно заданию абстрактной группы определяющими соотношениями. Получены критерии $T$-фильтров и $T$-последовательностей, причем особое внимание уделено $T$-последовательностям на группе целых чисел. Методом $T$-последовательностей построена серия контрпримеров к ряду открытых вопросов топологической алгебры. Так, например, на любой бесконечной абелевой группе существует топология, различающая секвенциальность и свойство Фреше–Урысона (решение проблемы В. И. Малыхина), на группе целых чисел указана полная топология без нетривиальных непрерывных характеров (решение проблемы Ниенхайза). Доказано, что на любой бесконечной абелевой группе существует свободный не $T$-ультрафильтр.