О зависимости свойств функций от скорости их приближения полиномами

Пусть $f(x)$ – ограниченная $2\pi$-периодическая функция с модулем непрерывности $\omega(\delta,f)$; $E_n(f)$ и $H_\alpha E_n(f)$ – наименьшие уклонения $f$ от тригонометрических полиномов порядка $\leqslant n$, соответственно равномерные и в $\alpha$-метрике Хаусдорфа,
$$ \sigma_n(f,\alpha)=H_\alpha E_0(f)+\dots+H_\alpha E_{n-1}(f). $$
Тогда
\begin{gather*} H_\alpha E_n(f)\leqslant E_n(f)\leqslant H_\alpha E_n(f)\exp\{(3+2\sqrt2\,)\alpha\sigma_n(f,\alpha)\},\\ \omega\left(\frac1n,f\right)\leqslant\frac{\exp\{(3+2\sqrt{2})\alpha{\sigma_n}(f,\alpha)\}-1}{n\alpha}. \end{gather*}
Если $H_\alpha E_n(f)\leqslant c/n\alpha$ при $n\to\infty$, то при $c<\pi$ $f(x)$ непрерывна почти всюду, при $c<\pi/2$ непрерывна всюду, при $c<1$ $f\in\operatorname{Lip}\gamma(c)$, $\gamma(c)>0$.
Рассматриваются приближения алгебраическими полиномами. Приводятся следствия.
Библиография: 13 названий.