Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени нечетного простого числа

При $D=p^m$, $p$ – фиксированное нечетное простое число, $D\leqslant x^{3/8-\varepsilon}$, $(l,D)=1$, доказана асимптотическая формула
$$ \sum_{\substack{n\leqslant x\\n\equiv l\!\!\!\!\pmod D}}\tau_k(n)=\frac{xQ_k(\log x)}{\varphi(D)}+O\biggl(\frac{x^{1-\varkappa}}{\varphi(D)}\biggr), $$
где $\tau_k(n)$ – число решений в натуральных числах уравнения $x_1\cdots x_k=n$, $Q_k(z)$ – многочлен степени $k-1$ от переменной $z$ с коэффициентами, зависящими от $k$ и $p$, $\varkappa =\min\{\varepsilon/16,\beta/k^3\}$, $\beta>0$ – константа, зависящая от $p$, константа в знаке $O$ зависит от $k$, $p$, $\varepsilon$.
Доказательство опирается на одну идею А. А. Карацубы, позволяющую решать эту задачу по схеме тернарной аддитивной задачи.
Библиография: 10 названий.