Ортогональные базисы в $L^p$

Доказывается теорема: для любого промежутка $I\subset[1,2)$ существует ортонормированная система $\{\varphi_n\}$ на отрезке $[0,1]$, которая образует базис в $L^p$ при всех $p\in I$ и не является базисом в $L^q$ при всех $q\in[1,\infty]\setminus I$ ($L^\infty=C$).