Неравенства Колмогорова для функций из классов $W^rH^\omega$ с ограниченной нормой в $\mathbb L_p$

Найдены решения и описаны структурные свойства экстремальных функций задачи Колмогорова $\|f^{(m)}\|_{\mathbb L_\infty(\mathbb I)}\to\sup$, $f\in W^rH^\omega(\mathbb I)$, $\|f\|_{\mathbb L_p(\mathbb I)}\le B$, для всех $r,m\in\mathbb Z$, $0\le m\le r$, всех $p$, $1\le p<\infty$, выпуклых модулей непрерывности $\omega$, всех положительных $B$ и $\mathbb I=\mathbb R$ или $\mathbb{I}=\mathbb R_+$, где $W^rH^\omega(\mathbb I)$ – класс функций с $r$-й производной, модуль непрерывности которой ограничен $\omega$. Получены точные константы в аддитивных (и мультипликативных в случае гёльдеровских классов) неравенствах для нормы производных $\|f^{(m)}\|_{\mathbb L_\infty(\mathbb I)}$ функций $f\in W^rH^\omega(\mathbb I)$ с конечной нормой $\|f^{(r)}\|_{\mathbb L_p(\mathbb I)}$. Исследованы такие свойства экстремальных функций в случае $r=1$, как свойство ограниченности носителей, а также получены неравенства между узлами соответствующих $\omega$-сплайнов. В случае гёльдеровских модулей непрерывности $\omega(t)=t^\alpha$ показано, что длины интервалов между соседними узлами экстремальных $\omega$-сплайнов убывают в геометрической прогрессии, а сами решения задачи Колмогорова обладают фрактальным свойством подобия.
Библиография: 43 наименования.