Построение комбинаторных многообразий с заданными наборами линков вершин

Изучается преобразование $\mathcal{L}$, сопоставляющее каждому ориентированному замкнутому комбинаторному многообразию набор классов изоморфизма линков его вершин. Ставится задача об обращении преобразования $\mathcal{L}$. Показано, что эта задача тесно связана с классической проблемой Стинрода о реализации циклов и конструкцией Рохлина–Шварца–Тома комбинаторных классов Понтрягина. Получено условие сбалансированности, являющееся необходимым для того, чтобы набор классов изоморфизма комбинаторных сфер принадлежал образу преобразования $\mathcal{L}$. Дана явная конструкция, показывающая, что каждый набор классов изоморфизма комбинаторных сфер, удовлетворяющий этому условию сбалансированности, попадает в образ преобразования $\mathcal{L}$ после перехода к кратному набору и добавления некоторого количества пар вида $(Z,-Z)$, где $-Z$ есть сфера $Z$ с обращенной ориентацией. Эта конструкция позволяет по каждому сингулярному симплициальному циклу $\xi$ пространства $X$ явно построить комбинаторное многообразие $M$ и отображение $\varphi\colon M\to X$ такие, что $\varphi_*[M]=r[\xi]$ для некоторого натурального числа $r$. Построение проведено с помощью разрешения особенностей цикла $\xi$. Даны приложения основной конструкции к изучению кобордизмов многообразий с особенностями и кобордизмов простых клеток. В частности, доказано существование локальных формул для всех рациональных аддитивных инвариантов кобордизмов с особенностями. В качестве приложения построены явные, хотя и неэффективные, локальные комбинаторные формулы для полиномов от рациональных классов Понтрягина комбинаторных многообразий.
Библиография: 38 наименований.