Ряды Гильберта и соотношения в алгебрах

Пусть $A$ – градуированная ассоциативная алгебра над полем, $I\triangleleft A$ – идеал, порожденный некоторым множеством однородных элементов $\alpha\subset A$, и $B=A/I$. В работе получены оценки, связывающие ряды Гильберта алгебр $A$ и $B$ с числом элементов множества $\alpha$. Как и в теореме Голода–Шафаревича, равенства в этих оценках достигаются в точности для сильно свободных множеств $\alpha $: тем самым получены новые характеризации таких множеств. В качестве следствия доказано, что над полем нулевой характеристики в классе конечно определенных алгебр не существует алгоритма, проверяющего по заданным образующим и соотношениям алгебры, равен ли радиус сходимости ее ряда Гильберта данному рациональному числу, а также алгоритма, проверяющего, равно ли значение функции Гильберта в данной точке данному числу.
Попутно вводятся и исследуются экстремальные градуированные алгебры, т.е. такие, что всякая их факторизация строго увеличивает радиус сходимости ряда Гильберта. В частности, показано, что к этому классу относятся свободные произведения двух нетривиальных алгебр, квадратичные алгебры с одним соотношением и не менее чем тремя порождающими и регулярные по Артину–Шелтеру не нётеровы алгебры глобальной размерности 2.
Библиография: 15 наименований.