Интегралы высших порядков типа законов сохранения для линейных гиперболических задач

Ищутся интегралы, аналогичные классическому интегралу энергии, не содержащие более высоких производных от неизвестных функций гиперболической линейной краевой задачи.
Выписываются явно интегралы второго порядка в трех классических краевых задачах для волнового уравнения, соответствующих часто встречающимся пограничным условиям:
$$ u\big|_s=0, \quad \frac{\partial u}{\partial n}\Big|_s=0, \quad \biggl(\frac{\partial u}{\partial n}+hu\biggr)_s=0. $$
Для перечисленных трех задач доказывается существование и дается метод построения положительно определенного интеграла $N$-гo порядка (содержащего производные от $u$ до $N$-гo порядка включительно).
Выписываются отдельные интегралы высших порядков для некоторых гиперболических систем, в частности для уравнений Максвелла в случае полного отражения электромагнитных волн от металлической поверхности, ограничивающей область распространения, выписан интеграл $\mathscr E _2$, являющийся независимой константой электромагнитного поля по отношению к классическому интегралу энергии $\mathscr E _1$.