Оценка показательной тригонометрической суммы

Тригонометрическая сумма $S=\sum\limits_{x=0}^{P-1}e^{2\pi i\alpha g^x}$, где $0\leqslant\alpha<1$, $g$ – целое $\geqslant 2$, исследуется по аналогии с суммой $\sum\limits_{x=1}^Pe^{2\pi i\alpha x^n}$. Интервал $[0,1)$ эффективно разбивается на два подмножества $\mathfrak{M}_1$ и $\mathfrak{M}_2$, причем если $\alpha\in\mathfrak{M}_2$, то $|S|\le C(\varepsilon)\dfrac P{\log^{\frac12-\varepsilon}P}$, $\varepsilon>0$, и $\operatorname{mes}\mathfrak{M}_1=O(e^{-C(\log P)^3})$ ($C>0$ – константа).