Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодической суммы

В работе находится асимптотическая формула для числа решений диофантова уравнения
$$ m_1g^{x_1}+\dots+m_kg^{x_k}=n_1g^{y_1}+\dots+n_kg^{y_k} $$
при увеличении интервала, в который попадают решения. Устанавливается, что
$$ \lim_{p\to\infty}\operatornamewithlimits{mes}_{0\leqslant\alpha\leqslant1}E\biggl\{\sum_{x=0}^{p-1}f(g^x\alpha)<\lambda\sqrt p\biggr\}=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^\lambda e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}\,dz. $$