Действие надалгебры в планшерелевском разложении и операторы сдвига в мнимом направлении

Рассматривается тензорное произведение унитарного представления группы $G=\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ со старшим весом и комплексно-сопряженного представления с младшим весом. В пространстве представления действует прямое произведение групп $G\times G$. Разложим полученное представление в прямой интеграл относительно диагональной подгруппы $G\subset G\times G$, этот прямой интеграл реализуется как пространство $L^2$ на произведении окружности с координатой $\phi\in[0,2\pi)$ и полупрямой $s\geqslant 0$, где $s$ нумерует унитарные представления группы $G$ основной серии.
Получены явные формулы для действия алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2\oplus\mathfrak{sl}_2$ в этом прямом интеграле. Оказывается, что операторы представления являются дифференциальными операторами второго порядка по $\phi$ и разностными операторами второго порядка по $s$, причем разностные операторы выражаются через сдвиг в мнимом направлении $s\mapsto s+i$.
Библиография: 32 наименования.