Суммы степеней подмножеств произвольного конечного поля

Обсуждается следующая задача: даны натуральное число $n\geqslant 2$, действительное число $\varepsilon\in (0,1)$ и произвольное подмножество $A\subseteq\mathbb{F}_q$, не лежащее ни в каком нетривиальном мультипликативном сдвиге никакого собственного подполя $\mathbb{F}_q$ и удовлетворяющее условию $|A|>q^{\frac{1}{n-\varepsilon}}$, где $\mathbb{F}_q$ – конечное поле из $q=p^r$ элементов; для каких натуральных $N$ и $m$ выполнено множественное равенство $NA^m=\mathbb{F}_q$? В частности, показано, что последнее равенство справедливо при $m=2n-2$ и $N=N(n,r,\varepsilon)$.
Библиография: 42 наименования.