Ортогональные вейвлеты с компактными носителями на локально компактных абелевых группах

Дополняются и уточняются результаты У. Лэнга (1998) о вейвлет-анализе на канторовой диадической группе $\mathcal C$. Построение ведется на локально компактной абелевой группе $G$, определяемой по целому $p\geqslant2$ и совпадающей при $p=2$ с группой $\mathcal C$. Для любых целых $p,n\geqslant2$ в пространстве $L^2(G)$ указывается функция $\varphi$, которая:

• является суммой лакунарного ряда по обобщенным функциям Уолша;
• имеет ортонормированную в $L^2(G)$ систему “целочисленных” сдвигов;
• удовлетворяет “масштабирующему уравнению” с $p^n$ числовыми коэффициентами;
• имеет компактный носитель, мера Хаара которого пропорциональна $p^n$;
• генерирует кратномасштабный анализ в $L^2(G)$.

По функциям $\varphi$ определяются ортогональные вейвлеты $\psi$ с компактными носителями на $G$. Семейство функций $\varphi$ во многих отношениях аналогично хорошо известному семейству масштабирующих функций Добеши. Излагается метод оценки модулей гладкости функций $\varphi$, приводящий при малых значениях $p$ и $n$ к точным оценкам. Кроме того, показано, что предложенная недавно Бл. Сендовым концепция адаптивного кратномасштабного анализа применима в рассматриваемой ситуации.
Библиография: 24 наименования.